Circunferencias tangentes a otra , con centro en una recta y que pasan por un punto exterior

 Selectividad Andalucía EXTRA SUPLENTE 2022

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Este ejercicio es un poco "raro" ya que nos piden que las circunferencias tengan su centro en una recta.

SOLUCIÓN

Lo vamos a resolver aplicando la potencia de un punto.

Podemos empezar razonando el ejercicio, Para ello podemos hacer el ejercicio completo "a ojo", y ,desde ahí hallar la solución. Los centros de las circunferencias han de estar en la recta . Si lo resolviéramos " aojo"(por "jinqueo", que lo llamo yo) tendríamos que ir haciendo centro en la recta hasta que nos pasara la circunferencia por A y fuera tangente. (por supuesto, esto NO lo puedes hacer en selectividad). Vemos los puntos de tangencia T: Si los conseguimos el ejercicio sería fácil.

Si continuamos con el croquis vemos que habría un centro radical de las circunferencias C1 y C2. Los puntos de tangencia estarían a la misma distancia del CR. ¿cómo lo podemos hallar?

Como C1 y C2 son secantes, podemos hallar su eje radical trazando desde A (donde se cortan y su potencia es 0) una recta perpendicular a la recta que une sus centros (R).

Con este dibujillo podemos empezar ya a resolver el ejercicio

1 Por A trazamos una recta perpendicular a la recta R. Ha de ser el eje radical de C1 y C2

2  Trazamos una circunferencia cualquiera (C3) con centro en R. Por donde corte a O pasará el eje radical de C3 yC. Donde este eje corte al anterior estará el centro radical de C1-C2-C3 y C.

3- Para hallar los puntos de tangencia trazamos rectas tangente a C desde CR. No hace falta dibujar las rectas, sólo hallar los puntos de tangencia, así que: 1- Unimos Cr con el centro O,2- Hallamos la mitad del segmento CR-O (con una mediatriz) 3- Dibujamos una circunferencia que pase por O, donde corte a C estarán los puntos de tangencia.

4  Uniendo el centro O con los puntos de tangencia, hallamos en la recta los centros C1 y C2. 

5  Ya sólo nos queda dibujar las circunferencias

Examen trazados-hasta tangencias 2º bachillerato

 

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SOLUCIONES

1 1. Trazamos la mediatriz al segmento AB: Los centros han de estar en esta línea.

    2-Hallamos el centro radical de las circunferencias. Para ello nos valemos de una circunferencia que corta a O.

3 . La distancia del centro radical a los puntos de tangencia ha de ser la misma, pero no tenemos ninguno. Así que hallamos la media proporcional de los segmentos CrA y CrB. Con esa distancia y haciendo centro en Cr hallamos los dos puntos de tangencia.

4.Uniendo en centro O con los puntos de tangencia, hallamos los centros en la mediatriz.

5- Dibujamos las circunferencias, asegurándonos de que pasen tanto por A y B como por los puntos de tangencia.

2     Este ejercicio fue propuesto para la selectividad de 2022. Aquí tienes el EXAMEN

1- Valiéndonos de una circunferencia O3 que corta a las otras dos hallamos los ejes radicales de O1O3 y O2O3, Desde donde se corten trazamos el eje radical , que ha de ser perpendicular a la recta que pasa por O1 y O2.

2- El eje radical de C2 y las circunferencias que buscamos (C4 y C5) ha de pasar por T y ser perpendicular al segmento que une T con O2. Donde corte al eje radical de C1 y C2 ha de estar el centro radical.

También lo podemos hallar usando una circunferencia auxiliar que pase por T, pero hace más "lioso" el ejercicio.

3- Desde el centro radical trazamos una circunferencia por T y hallamos los otros puntos de tangencia

4- Uniendo los puntos de tangencia con los centros O1 y O2 hallamos los centros de C4 y C5 . Han de estar en la recta que une =2 con T.

5,- Dibujamos las circunferencias tangentes.

3   

4-  1- Trazamos una recta perpendicular a R por T: En esta recta ha de estar el centro.

 2. Como la circunferencia ha de pasar por T y P, dibujamos la mediatriz del segmento TP. Donde corte a la recta anterior estará el centro de la circunferencia.

Examen tangencia usando eje radical

IMPRESO-DIBUJO-ORD-TITULAR-EXAMEN-Tangencias 2022

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2    

1- Valiéndonos de una circunferencia O3 que corta a las otras dos hallamos los ejes radicales de O1O3 y O2O3, Desde donde se corten trazamos el eje radical , que ha de ser perpendicular a la recta que pasa por O1 y O2.

2- El eje radical de C2 y las circunferencias que buscamos (C4 y C5) ha de pasar por T y ser perpendicular al segmento que une T con O2. Donde corte al eje radical de C1 y C2 ha de estar el centro radical.

También lo podemos hallar usando una circunferencia auxiliar que pase por T, pero hace más "lioso" el ejercicio.

3- Desde el centro radical trazamos una circunferencia por T y hallamos los otros puntos de tangencia

4- Uniendo los puntos de tangencia con los centros O1 y O2 hallamos los centros de C4 y C5 . Han de estar en la recta que une =2 con T.

5,- Dibujamos las circunferencias tangentes.   

21 EJE RADICAL - 2º bachillerato

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ficha 20   ficha 22

SOLUCIONES 

Vídeos explicando potencia, eje y centro radicales, al final de la entrada

 

Concepto de potencia .

Eje y centro radical

TANGENCIAS. Selectividad Andalucía 2020 (suplente)

 

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SOLUCIÓN

1. Empezamos trazando la mediatriz a AB, los centros de la circunferencias C2 y C3 que buscamos han de estar aquí

2. Por A y B pasa el eje radical de C2 y C3 (ya que las dos se cortan aquí). Hacemos otra circunferencia C4 que pasa también por A y B (con centro en la mediatriz y radio el que queramos). El eje radical será ahora de c2, c3 y c4. Por donde C4 corta a la circunferencia C estará el eje radical de C y c4. 

Donde se corten los dos ejes radicales estará el centro radical.

3, Seguimos sin tener ningún punto de tangencia, pero podemos hallarlo haciendo la media proporcional de los segmentos CrA y CrB.

4. Uniendo los puntos de tangencia con el centro de C, obtenemos, en la mediatriz, los centros que buscamos.

5. Trazamos con cuidado las circunferencias  (si no nos coinciden, es que la hemos liado en algún sitio, así que no las repaséis hasta estar seguros).