28 29 30 paralelismo

28 PARALELISMO  I                   

Ficha 28 en PDF

 solución FICHA 28            
1- 1º Dibujamos una recta (M) paralela a R y que contiene a A. 2º Hallamos el plano P, definido por R y M. Las trazas de P pasan por las trazas de las rectas.

2. 1º Dibujamos una recta R, horizontal (o frontal) que contenga a A. Esta recta sería paralela a todas las rectas horizontales de P.  2º Por v' de r dibujamos una traza Q´ paralela a P´, desde donde corte a la LT trazamos Q, paralela a P. Se cumple que el plano Q es paralelo a P y contiene a A.

3 1º Dibujamos una recta cualquiera R, que pertenezca a P sea oblícua (hay infinitas posibilidades y, por tanto, este ejercicio también va a tener infinitas soluciones) 2º Por A trazamos una recta S paralela a R. Aunque no se vea directamente S ha de ser paralela al plano.

4 1º Dibujamos una recta S, paralela a R y que contiene a A. 2º Dibujamos un plano que contiene a S. Este ha paralelo a R. Como puedo dibujar infinitos planos, este ejercicio tendría infinitas soluciones. El único que no valdría sería el formado por S y R.

 

5 1º Hallamos el plano definido por el triángulo dado. Tiene que ser un plano proyectante vertical 

    2º Trazamos el plano paralelo que contiene a D. Al ser proyectante se dibuja directamente. Si te das cuenta, es tan fácil que podríamos haberlo hecho sin hallar las trazas del plano definido por ABC.

6.. 1º Hallamos la intersección de P y Q. Ha de ser una recta paralela a la LT. 2º Trazamos una recta paralela a la LT que pase por A.

29 Paralelismo     II             

Ficha 29 en PDF

Solución       
1- Lo podemos resolver en el perfil 1º Dibujamos la traza P'' en el perfil. 2º Trazamos Q'' paralela a P'' y que contiene a la proyección a'' 3º Dibujamos Q' y Q.

2 Como el plano es proyectante, podemos dibujar las trazas directamente.

3º 1º Dibujamos una recta cualquiera que pertenezca a P. 2ºTrazamos una recta paralela a la anterior que contenga a A: Esta recta va a ser paralela a P     3º Dibujamos las trazas de un plano Q que contenga a R.

4  1º Dibujamos una recta S paralela a R y que contiene a A. 2º Hallamos el plano definido por las dos rectas

5. ´Nos dan un plano y un punto. Tenemos que dibujar un triángulo paralelo al plano del que conocemos un vértice. Vemos que habría infinitas soluciones.

-Hay muchas formas de resolverlo. Una  sería dibujar un plano paralelo a P que contenga a A, y después buscar 2 puntos que también pertenezcan al plano nuevo.

- Otra forma sería dibujar 2 rectas paralelas a P que contengan a A y en ellas situar B y C.

Vamos a optar por esta última:

1º Dibujamos una recta M que pertenezca a P y otra R paralela a la anterior que contenga a A. Puedo elegir cualquiera , pero la horizontal es la más fácil (de hecho, me puedo ahorrar dibujar M). En R situamos un punto cualquiera B.

2º Hacemos lo mismo con una recta frontal y hallamos otro punto, C.

3º Trazamos el triángulo

6. En este caso nos dan un triángulo y un punto. Nos piden que dibujemos un plano paralelo al triángulo que contenga a A. Hay una única solución.

-Habría muchas formas de hacerlo. Una podría ser hallar primero las trazas del plano definido por el triángulo y después hallar las del plano paralelo que contenga a A.

-Vamos a optar por otra posibilidad: Dibujar rectas que sean paralelas a los lados del triángulo pasando por A y hallar las trazas del plano definido por estas rectas.(con 2 tengo suficiente)

Así que 

1º  Dibujamos dos rectas R y S, paralelas a lados del triángulo, hallando las trazas.

2º Hallamos las trazas del plano definido por R y S.

 
30 PARALELISMO III                 

Ficha 30 en PDF           

SOLUCIÓN                                     

1      Para que sea paralela a Py Q tiene que ser paralela a un recta que pertenezca a los dos: La recta intersección. Así que 1º Hallamos la intersección de Py Q (recta M). 2º Trazamos una recta R paralela a M y que contiene a A.

  

2      Es similar al ejercicio anterior. 1º Hallamos la recta intersección de P y Q. 2º Trazamos una recta paralela a esta que contenga a A. 

3    1º Dibujamos una recta horizontal (M) de P que contenga a A. La traza P es paralela a la proyección m.

  Para Hallar las trazas de Q nos valemos de otra recta horizontal (N) que pase por E. la traza Q es paralela a n y Q'  contiene a V'deN.

4        Este ejercicio lo podemos resolver en el perfil.  

5   1º  Para dibujar R, hacemos primero una recta cualquiera (X) que pertenezca a P. R la dibujamos paralela a x (hay infinitas soluciones, ya que podemos dibujar infinitas rectas oblícuas que pertenezcan a P)    

2º  La recta M la podemos dibujar paralela a cualquier recta horizontal de P. basta conque m sea paralela a P y m' paralela a P'.

6     Este es un ejercicio de diédrico directo, así que no tenemos LT ni tampoco podemos valernos de  trazas de planos. . Para hallar un triángulo paralelo nos podemos basar en rectas paralelas.

    1º dibujamos una recta (S) paralela a R y que contiene a A.

 2º Dibujamos otra recta (T) paralela a M y que tambi.en contiene a A. S y T definirían un plano paralelo a P.

3º  Escogemos  dos puntos (C y B) situados en S y T. Estos puntos pertenecerán a un plano paralelo a P. Los podemos elegir donde queramos (habría infinitas soluciones.)

4 º Uniendo los puntos hallamos el triángulo.

    
   

   



 

33 PERPENDICULARIDAD III - 2º Bachillerato

 

Descarga ficha 33 en PDF

ficha 32      ficha 34

SOLUCIÓN

1.Los ejercicios de esta ficha son de rectas perpendiculares, que no se ven directamente. Una recta será perpendicular a otra cuando es perpendicular a un plano que la contiene.

Así que 1º Trazamos un plano cualquiera P que contenga a R (y que sea oblícuo). Dibujando una recta perpendicular a P que pase por A obtenemos la solución

También lo podríamos resolver trazando un plano P perpendicular a R que pase por A. Todas las rectas contenidas en P que pasen por A serán perpendiculares a R.

2 En este caso sólo hay una posible solución, que pasaría por A y un punto de la recta (E)

Para hallar el punto E podría trazar un plano (P) perpendicular a R que pase por A. donde corte a R estará el punto E.

Así que 1º Hallo las trazas de un plano perpendicular a R que pase por A. Me valgo de una recta horizontal.

2º  Hallo el punto E,  intersección de P y R. Para ello uso un plano proyectante Q, que contiene a R.

3º Uno los puntos A y E.

3 En este caso 1º trazamos un plano perpendicular a R por A. Habría infinitas rectas perpendiculares a R que pasen por A.

Vemos que hacer una recta de punta que pertenezca a P es imposible, así que la recta F no se puede trazar.

4 En este caso podemos actuar igual que en ejercicio anterior, pero al ser una recta vertical las soluciones se ven directamente. De igual manera vemos que no se puede trazar una recta frontal que sea perpendicular.

perpendicularidad II 1ºbachillerato

Imprimir ficha en PDF

ficha 39   ficha 41

SOLUCIONES

Los planos perpendiculares entre sí no se ven directamente (excepto en algunos casos de planos proyectantes)

Pero como norma general, un plano es perpendicular a otro cuando contiene a una recta que es perpendicular. Por ejemplo si tengo un plano P y una recta R, perpendicular a P, todos los planos que contengan a R son perpendiculares a P

Los planos M y Q son perpendiculares a P, porque contienen a R. (podría trazar infinitos planos perpendiculares)

1 

En este caso, como el planoP es horizontal (como si fuera el piso de una casa) se ve muy bien.

1º Trazamos una recta S, perpendicular a P y que contiene a A. Todos los planos que contienen a S son perpendiculares a P.

2 Un plano es perpendicular a otro cuando contiene a una recta que es perpendicular, así que
1º Dibujamos una recta, S, perpendicular a P y que contiene a A

 Todos los planos que contienen a S son perpendiculares a P, Como nos piden que sea oblícuo a los planos de proyección, dibujamos un plano cualquiera Q, de manera que Q'contenga a v' y Q contenga pase por h.

3 Procedemos de igual manera que en el ejercicio anterior. 1º Trazamos una recta R, perpendicular a P y que pasa por E. En este caso sólo hay una solución, ya que nos piden que el plano se paralelo a la LT.

4 En este caso el plano tiene que contener a dos puntos. (hay una única solución).

1º Dibujamos una recta R, perpendicular a P y que contiene a A.

 2º Hacemos lo mismo con el punto E (recta S). R y S son dos rectas paralelas y definen al plano que buscamos.

 3º Uniendo las trazas v' y h hallamos las trazas del plano Q.

5
Las rectas perpendiculares tampoco se ven a simple vista. Hay casos donde si se pueden ver, como en  el ejemplo siguiente, entre una recta de punta y otra paralela a la LT.

Pero en general, una recta (R)será perpendicular a otra(S) cuando es perpendicular a un plano que contiene a S.

Por tanto en este ejercicio.
1º Dibujamos un plano cualquiera P que contenga a R (y a A, claro). He elegido el más fácil: proyectante vertical, pero valdría cualquiera.
2º Trazamos por A una recta perpendicular a P.

6 Las rectas no se ven a simple vista, así que tendremos que imaginar otra forma de solucionarlo.
1- Me dan una recta y un punto. Sólo puedo trazas una recta perpendicular a R (la he llamado T). La recta T tendría que pasar por un punto E de R. Pero ... ¿Como puedo hallar E?

2-Para hallar E podría dibujar un plano P, perpendicular a R y que contenga a A (lo hicimos en una ficha anterior)

3- Donde R corte a P, estará el punto E.

4- Uniendo A con E, obtendré la recta que busco.

Con este croquis en mente, empiezo a dar los mismos pasos en diédrico.

1º Traza un plano P perpendicular a R y que contiene a A. Para ello me valgo de una recta horizontal S.

 Por v' trazo P' perpendicular a r' y después P, paralela a  s (y perpendicular a r.)

 2- Una vez que tengo el plano P, hallo la intersección de R y P, para lo cual me valgo de un plano proyectante vertical. Obtengo la recta m, y donde esta corte a R está el punto E.

 3º Uniendo E con A, obtengo la recta T, que, aunque no lo parezca, es perpendicular a R.

RECUERDA: si te pierdes en este proceso no olvides el dibujo..