Circunferencias tangentes a otra , con centro en una recta y que pasan por un punto exterior

 Selectividad Andalucía EXTRA SUPLENTE 2022

Examen en PDF 

Este ejercicio es un poco "raro" ya que nos piden que las circunferencias tengan su centro en una recta.

SOLUCIÓN

Lo vamos a resolver aplicando la potencia de un punto.

Podemos empezar razonando el ejercicio, Para ello podemos hacer el ejercicio completo "a ojo", y ,desde ahí hallar la solución. Los centros de las circunferencias han de estar en la recta . Si lo resolviéramos " aojo"(por "jinqueo", que lo llamo yo) tendríamos que ir haciendo centro en la recta hasta que nos pasara la circunferencia por A y fuera tangente. (por supuesto, esto NO lo puedes hacer en selectividad). Vemos los puntos de tangencia T: Si los conseguimos el ejercicio sería fácil.

Si continuamos con el croquis vemos que habría un centro radical de las circunferencias C1 y C2. Los puntos de tangencia estarían a la misma distancia del CR. ¿cómo lo podemos hallar?

Como C1 y C2 son secantes, podemos hallar su eje radical trazando desde A (donde se cortan y su potencia es 0) una recta perpendicular a la recta que une sus centros (R).

Con este dibujillo podemos empezar ya a resolver el ejercicio

1 Por A trazamos una recta perpendicular a la recta R. Ha de ser el eje radical de C1 y C2

2  Trazamos una circunferencia cualquiera (C3) con centro en R. Por donde corte a O pasará el eje radical de C3 yC. Donde este eje corte al anterior estará el centro radical de C1-C2-C3 y C.

3- Para hallar los puntos de tangencia trazamos rectas tangente a C desde CR. No hace falta dibujar las rectas, sólo hallar los puntos de tangencia, así que: 1- Unimos Cr con el centro O,2- Hallamos la mitad del segmento CR-O (con una mediatriz) 3- Dibujamos una circunferencia que pase por O, donde corte a C estarán los puntos de tangencia.

4  Uniendo el centro O con los puntos de tangencia, hallamos en la recta los centros C1 y C2. 

5  Ya sólo nos queda dibujar las circunferencias